Het aanbod van droogritten is nog steeds zo groot dat we al weer een column vol hebben! Maar deze keer gaat het niet alleen over droogritten; deze column staat enigszins in het teken van de meetkunde. Handig bij het bepalen van de kortste route (en bij het oplossen van problemen, zoals u zult zien)!
Tulpenrallye: controles op StreetView
Inmiddels is de Tulpenrallye Home Edition 2021 verreden, waarbij de deelnemers onder hoge tijdsdruk moesten presteren: drie trajecten in drie opeenvolgende dagdelen. Hoe de organisatie het precies voor elkaar had gekregen wist ik (nog) niet, maar ze hadden een redelijk spectaculair nieuwtje: als je de route op StreetView reed, dan kwam je daadwerkelijk controles tegen! Zie de volgende plaatjes, met achtereenvolgens een routecontrole, een zelfstempelaar en een tijdcontrole, met echte Tulpenrallye-borden. En bij sommige controles werd je toegesproken door een lid van de organisatie. Net echt…
Inmiddels heb ik van een van de uitzetters van dit evenement, Willem van Leeuwen (van de digitale rekenkamer van NovusLeo en de Redrive-app), wat meer info ontvangen. Om te beginnen staat de Home Edition nog steeds online (zie www.tulpenrallye.nl/home-edition-2021) en daar kunnen via StreetView de controles, stempels en filmpjes nog steeds worden gevonden, zodat U het daar dus zelf kunt bekijken en uitproberen. Hij schrijft onder meer: "Voor de Tulpenrallye hadden we begin mei natuurlijk eigenlijk feestelijk in Bordeaux willen starten. Helaas was dit al de 3e keer dat we de start vanwege COVID een half jaar opschuiven. Om de Tulpenrallye sfeer toch een beetje in huis te brengen wilden we een unieke 'droogrit' aan onze deelnemers bieden. Tijdens de brainstorm kwamen we op het idee om virtueel controles te plaatsen langs Franse wegen. Vervolgens zijn daar ook stempels en filmpjes van de marshals bij gekomen om het 'Tulpenrallye' gevoel zo goed mogelijk over te brengen. De uitzetters (Jan en Erwin Berkhof plus ikzelf als gast-uitzetter voor deze editie) hebben de controles (op de kaart van Frankrijk/België) uitgezet in de 'Redrive Controle Plotter' en vanuit daar hebben we ze gekopieerd naar een aparte Tulpenrallye omgeving. Als kers op de taart hebben we het controlemateriaal (inclusief startboog) van de Tulpenrallye nagemaakt en kleine knipoogjes toegevoegd zoals een donkere kaart (en filmpjes) voor het avondtraject."
Voor meer info: zie de websites www.novusleo.nl en redrive.app.
NB: Mocht er een Ronde door Vriesland 2021 komen (maar daarover valt op dit moment nog niets te zeggen), dan zou die misschien ook met behulp van StreetView verreden kunnen worden. De tijd zal het leren.
Hulplijntjes?
Op de leuke website "Rittensport NL 1965-1985" schreef veelvuldig nationaal kampioen Sascha Tamarinof onlangs het volgende: "Dit hebben we allemaal wel eens meegemaakt bij een kaartleesrit. Je hebt om een route te construeren de mogelijkheid om van a naar b linksom of rechtsom te rijden.... metende is bijna niet te bepalen wat nu de kortste route is. En ja... zoals linksom als rechtsom staat een controle. Om dit dilemma op te lossen trok ik een rechte lijn van de kruising bij punt a naar de kruising bij punt b. Dan heb je links en rechts van je potloodlijntje een vlak. En.... eureka... door die verdeling in twee vlakken zie je vrijwel direct welk oppervlak het kleinst is... en ja... de weg die daarlangs loopt is de kortste route..."
Dat is een handige methode, maar er zijn niet zo veel situaties waar deze truc echt werkt. Waarbij het ook nog maar de vraag is of je inderdaad "vrijwel direct" kan zien welk oppervlak het kleinst is. Ik geef een paar voorbeelden waar dat toch niet zo eenvoudig is. Het gaat in beide gevallen om de route van A naar B. Zou u, mét of zonder de rode hulplijnen, zonder te meten kunnen zeggen welke routes de kortste zijn?
En als je het puur meetkundig bekijkt dan blijkt het ook niet altijd waar te zijn; zie het volgende voorbeeld. Van pijl 1 naar pijl 2 kunnen we via a of via b. We trekken het rode hulplijntje en krijgen dan twee vlakken: A en B. Het oppervlak van A is 200 (20x10), en van B 175 (20x5 + 15x5), dus A is het grootste oppervlak. Echter: de route via a is 40 eenheden (10+20+10), maar via b 60 (20+5+15+15+5)!
Hoewel oppervlak A groter is dan B is de route via a toch de kortste. Conclusie: wees voorzichtig met het toepassen van deze methode.
Te lange keerlus?
Zowel bovengenoemde Sascha Tamarinof (op de aangehaalde website) als John Terpstra (als gastcolumnist op deze plaats) hebben uitgebreid verhaald over hun belevenissen in de militaire kaartleeswereld. Maar ook Kees van Schenk Brill vertelde mij eens een mooie anekdote. Hij was ooit commandant van een militaire colonne die ergens verkeerd was gereden. Ik laat maar even in het midden of er iemand een kaartleesfout had gemaakt (en zo ja wie…). Feit is dat men de andere kant op moest, en zoals wij allemaal weten is een keerlusje dan handig. Gelukkig vond Kees zo'n lusje, maar stond even later enigszins bedremmeld te kijken toen de eerste voertuigen al rond waren gereden en vervolgens bleek dat de colonne langer was dan het lusje! Oeps…
Nu ik dit opschrijf moet ik ook terugdenken aan de Teamrit van 1972, die startte en finishte in het Drentse Drouwen. De vier (!) teams van de RAC Den Haag (met 4 of 5 equipes per team!) besloten tijdens het wachten op de uitslag (dat wilde toen nog weleens even duren) ergens in de buurt een hapje te gaan eten. Iemand wist wel een goede plek, en daar ging de colonne. Helaas, de verkeerde kant op… En ook toen en daar gold: check EERST de lengte van de keerlus tegen de lengte van de colonne! Daar hoef je dus geen militair voor te zijn…
Bochten meten
Als tussendoortje even iets heel anders. Heeft u ook zo'n hekel aan het meten van lange kronkelige wegen? Weet dan dat het soms niet nodig is om heel precies te meten. Om twee routes met elkaar te vergelijken kan het voldoende zijn om te weten hoe lang ze ongeveer zijn.
Als dat een heleboel scheelt dan weet u genoeg, en als dat niet zo is dan kunt u alsnog wat nauwkeuriger te werk gaan. Globaal meten doet u door "de bochten af te snijden". Hoe lang is de kromme zwarte lijn A-B in het plaatje hiernaast? Als dat een kwartcirkel is met een straal (R) van 100, dan is de lengte L gelijk aan een kwart van de omtrek (2πR), dus ¼(2π.100) = 157. Als we heel ruw meten langs de rode lijn, dan levert Pythagoras (a2 + b2 = c2) in de rechthoekige driehoek MAB: c = √ (1002 + 1002) = 141. Doen we het iets nauwkeuriger, via de twee groene rechte lijnen, dan meten we p = 152; bij drie lijnen wordt het 156, dus al bijna 157. Conclusie: meet eerst maar eens langs een rechte lijn, en tel daar 10% bij, dan heeft u een heel aardige benadering van de lengte L van de gebogen lijn AB; en doet u het in twee stappen, dan zit u al heel dicht bij de juiste lengte.
Touw om de evenaar
Nu deze column toch een meetkundig tintje heeft is het volgende ook wel leuk om te vermelden. Om het thuiszitten tijdens de pandemie voor wiskundig geïnteresseerden wat draaglijker te maken publiceert het in New York gevestigde National Museum of Mathematics (MoMath) elke week een puzzel onder het motto "Mind-Benders for the Quarantined!". De puzzel van 18 mei (die voor mij niet nieuw was) had als titel "Belt Around the Earth", en vanwege een enigszins vergezochte link met kaartlezen leg ik hem ook aan u voor. Beschouw de aarde als een perfecte bol. Op de evenaar zit een touw strak om de aarde. Dit touw wordt losgemaakt en vervolgens 1 meter langer gemaakt, waardoor het enigszins los van de aarde komt te zitten. We veronderstellen dat het touw nu overal op dezelfde afstand van de aarde zit. De vraag is dan: Is er genoeg ruimte om een credit card tussen het touw en de aarde te steken? De dikte van een credit card is ongeveer 0,8 millimeter. De versie die ik kende ging nog iets verder: de vraag was of je er nog een vinger tussen kon krijgen? Wat denkt u? De oplossing staat verderop.
NB: De benaming MoMath is een typische New Yorkse manier van afkorten. Ze zijn daar gek op dit soort namen: het Museum of Modern Art heet MoMA, de wijk SoHo (niet te verwarren met Soho in Londen) ligt South of Houston Street (en tegenwoordig is er ook een NoHo), het min of meer driehoekige zuidelijke deel van Manhattan heet TriBeCa (Triangle Below Canal Street), en de hippe wijk Dumbo in Brooklyn ontleent zijn naam aan "Down under the Manhattan Bridge Overpass". En nu we toch afdwalen is het ook wel leuk om te vertellen dat allerlei New Yorkse namen een Nederlandse achtergrond hebben (uit de tijd van Peter Stuyvesant): Brooklyn = Breu(c)kelen, Flushing = Vlissingen, Harlem = Haarlem, Coney Island (zeg maar het Scheveningen van New York) = Conyne Eylandt (konijneneiland), Wall Street = Walstraat, Broadway = Breede Wegh, Long Island = Lange Eylandt.
Grappig: vlak nadat ik het voorgaande opschreef zag ik een tv-optreden van Hans Liberg waarin hij ongeveer ditzelfde rijtje opnoemde (alleen Wall Street kwam volgens hem van Waalstraat), maar daaraan toevoegde: Richmond = Wassenaar (haha).
Zuid-oost-noord
Het probleem uit de vorige alinea had maar heel zijdelings met kaartlezen te maken. Daarom heb ik hier nog een opgave, waarbij dat iets meer het geval is (?). En hiervan geef ik de oplossing nog niet meteen; U mag uw oplossing inzenden (naar Dit e-mailadres wordt beveiligd tegen spambots. JavaScript dient ingeschakeld te zijn om het te bekijken.), maar er zijn geen prijzen te verdienen, of het moet zijn een eervolle vermelding op deze plaats (en daar doet u het natuurlijk voor).
Het gaat om het volgende. U bevindt zich op een punt A ergens op het aardoppervlak. Vanaf dat punt begeeft u zich eerst 1 kilometer naar het zuiden, dan 1 kilometer naar het oosten, en ten slotte 1 kilometer naar het noorden. En dan blijkt u zich weer exact op punt A te bevinden. De vraag is:
hoeveel punten (0?, 1?, 2?, meer?) zijn er op het aardoppervlak (en welke zijn dat?) die u als startpunt A kunt gebruiken om genoemde route af te leggen? Ik ben reuze benieuwd naar uw antwoorden!
Verrassende 1-na-kortste routes
Mede naar aanleiding van de Finalerit van 2018 kon u in de column van 4 januari 2019 een soort basiscursus volgen over het systeem 1-na-kortste route. Nu wordt dit systeem de laatste tijd veelvuldig gebruikt in droogritten, en daarom kom ik er nu maar weer eens op terug. De heren uitzetters hebben blijkbaar in de gaten dat dit systeem zich goed leent voor een bepaald type val. Soms is de 1-na-kortste route namelijk niet een in het oog vallende kleine variant op de kortste (bijvoorbeeld een klein lusje extra, of de parallelweg in plaats van de hoofdweg), maar is dat een totaal andere route. Het plaatje hiernaast, uit de droogrit "Betuwelijntjes" van de AMAC, heeft u ook al in de vorige column gezien. De kortste route van 6 naar 7 is die via de controles E, M en K, maar de 1-na-kortste gaat NIET via E, N en K; tamelijk onverwacht blijkt het korter te zijn als je na de E drie maal linksaf gaat en dan via de W naar 7. Een val waar je snel intrapt!
Een ander voorbeeld is te vinden in Desk Top Rally nummer 2 van dit jaar (op rallynews.eu). Gevraagd wordt de 1-na-kortste route van pijl 7 naar punt 8. Eerst de kortste route bepalen: dat is na de punt van pijl 7 drie maal rechtsaf, langs controle G, en dan einde weg links, einde weg rechts, einde weg links, einde weg rechts, en via controle J naar punt 8. De 1-na-kortste lijkt dan dezelfde route met daarbij een lusje via controle R. Of eventueel een extra rondje langs de G, maar dat is iets langer. De werkelijke 1-na-kortste route gaat echter na pijl 7 linksaf en dan via controle 4 naar controle J! Overigens met omrijden vanwege keercontrole 4 als gevolg. NB: Het doet er hier niet toe, maar in werkelijkheid werd dit stukje geneutraliseerd omdat er "sluiproutes" mogelijk waren via pijl 21 (de kaartrand, zie vorige column).
Iets anders, maar toch wel vergelijkbaar: de route van pijl 8 naar punt 9 in de "We gaan toch op vakantie"-droogrit van de AMAC, eerder dit jaar. Eerst natuurlijk weer de kortste route. Die gaat niet via controle F, want dat is een fietspad. Dus dan maar via de D en het Kooipad. Bij de routeconstructie mogen we de rode blokkering negeren, dus vanaf pijl 8 door de blokkering en dan via de controles D en H naar punt 9. En dan denk je al gauw dat de 1-na-kortste een extra lusje langs controle G maakt. Maar nee: als we van pijl 8 niet rechtdoor gaan maar direct linksaf (en dus om de blokkering heen), dan is dat maar net iets langer dan de kortste route, maar wel veel korter dan via de G. En daar hoef je niet eens voor te meten! NB, voor de volledigheid: ook hier was sprake van een neutralisatie, en wel omdat de correcte (maar niet voorziene) 1-na-kortste route een extra rondje om de wegwijzer (Y) op punt 9 maakte.
Soms zijn er maar twee routes mogelijk, en dan speelt dit probleem niet. De ene is de kortste, en de andere de 1-na-kortste. Maar zodra er drie of meer routes in het spel zijn is het dus wel degelijk van belang alle routes te bekijken en zo nodig te meten. Waarbij we soms een verrassend resultaat krijgen.
Een ander gemenigheidje doet zich voor als we moeten kiezen tussen twee ommetjes om de kortste route iets langer te maken. Ook dan is het soms anders dan het op het eerste gezicht lijkt. In het volgende voorbeeld willen we van pijl 1 naar pijl 2. Uiteraard gaat de kortste route gewoon rechtdoor, en daar heeft niemand moeite mee. Maar dan de 1-na-kortste. We kunnen via d-e-f gaan in plaats van via d-f, of we kunnen een extra rondje c-b-a-c draaien (vooropgesteld dat we nogmaals over pijl 1 mogen, maar meestal is dat zo). De driehoek a-b-c is kleiner dan zijn collega d-e-f, dus u bent wellicht geneigd om voor c-b-a-c te kiezen. Maar let op! Dat rondje c-b-a-c komt in lengte bovenop de kortste route (c-d-f), maar de route d-e-f komt in plaats van de kortste route d-f. Met andere woorden: d-e-f moeten we bij de kortste route optellen, maar d-f gaat er vanaf! En dan is het vaak zo dat dit per saldo toch korter is. In dit voorbeeld zouden de lengtes als volgt kunnen zijn: a-c = 40 eenheden, a-b en b-c zijn beide 30, het hier qua lengte niet belangrijke c-d = 35, terwijl d-f, d-e en e-f alle drie 45 zijn. Het rondje c-b-a-c maakt de route dan 100 langer (30+30+40), terwijl bij de route d-e-f er 90 bij komt (45+45) maar ook 45 af gaat, zodat er onder de streep slechts 45 bij komt. Veel minder dan die 100 dus; het verschil is 55. Je kan dit natuurlijk ook te weten komen door gewoon beide totale routes volledig te meten: in het eerste geval krijgen we dan 40 + 30 + 30 + 40 + 35 + 45 = 220, en in het tweede geval 40 + 35 + 45 + 45 = 165. En inderdaad, het verschil is 55. Uiteraard zijn er situaties waar het verschil kleiner is, en dan trap je er nog sneller in. Als de zijden van driehoek d-e-f tweemaal zo groot zouden zijn, dus 90 in plaats van 45, dan is de extra lengte daar +90 +90 -90, per saldo dus +90. Nog steeds minder dan de 100 van het rondje c-b-a-c! Iets om te onthouden, zou ik zeggen.
Touw om de evenaar [2]
De oplossing van het probleem hierboven. Laten we de straal van de cirkel (de evenaar) R noemen. Dan is de omtrek van de cirkel, dus de lengte van het touw, gelijk aan 2πR. We gaan rekenen in centimeters. Als het met 1 meter verlengde touw op een afstand van x centimeter van de aarde zit, dan is de omtrek van de nieuwe cirkel gelijk aan 2π(R+x). Omdat de tweede cirkel 100 centimeter langer is dan de eerste, geldt dus: 2π(R+x) = 2πR + 100. Dat werken we uit: 2πR + 2πx = 2πR + 100. Dus: 2πx = 100. Waaruit volgt: x = 100 / 2π, en dat is 15,91 cm (afgerond op 2 decimalen). We zien dus dat x onafhankelijk is van de straal R, met andere woorden: elke cirkel die je 1 meter langer maakt levert een cirkel op die op een kleine 16 centimeter van de oorspronkelijke cirkel ligt! Probeer het maar eens met ronde voorwerpen uit uw omgeving, zoals een voetbal, een prullenmand of een tuintafel. En dat de lengte van de evenaar zo'n 40.000 kilometer is (en R dus een kleine 6.400 km), dat doet helemaal niet ter zake! Om bovenstaande vraagstelling (over de credit card) te beantwoorden: er kan dus een stapel van bijna 200 credit cards onder het touw door!